Número 21                                         Época IV                       enero-marzo 2012


LA TECNOLOGÍA: UN FACTOR QUE MODIFICA
PLANES DE ESTUDIO DE MATEMÁTICAS

J. César Domínguez G.*

(…) el carácter cultural de la matemática también queda develado cuando reflexionamos sobre la naturaleza eminentemente humana de la misma. En otras palabras, la biología, la medicina, la química, la física, etc., describen fenómenos, estructuras y comportamientos que se hallan en la naturaleza, independientemente de que nuestros sentidos puedan percibirlos o no.

La docencia es, desde mi particular punto de vista, una inmejorable oportunidad para que dos o más seres humanos crezcan… comenzando por el docente. Mi trabajo como profesor de matemáticas de nivel bachillerato y licenciatura me ha permitido confirmar en más de una ocasión la afirmación que acabo de plantear.

Hay –por lo menos– tres maneras en las que se puede dar dicho fenómeno. La primera es que uno puede adquirir un conocimiento completamente nuevo; recientemente, Estefanía, una notable estudiante de ingeniería civil, me pedía que le explicara qué rayos era el wronskiano (véase recuadro 1), algo que yo desconocía por completo. Tomé un libro, comprendí de qué se trataba y se lo explique de una forma tan clara como me fue posible. Lo más importante es que a partir de ese día apre(he)ndí un nuevo concepto matemático.

La segunda forma es recordar algo que ya se sabía, pero que por falta de uso se convirtió en conocimiento atrofiado; hace poco tuve que enseñar a mis alumnos de preparatoria cómo obtener la ecuación de la recta perpendicular a una dada que pase por un punto fuera de esta. Ya había olvidado que el aspecto medular del problema radica en las pendientes (la inclinación) de ambas rectas.

Finalmente, la última manera consiste en que, al buscar transmitir cierto conocimiento, uno puede –por no decir que está obligado a– comprender algo que quizá nunca fue del todo claro. Eso fue justo lo que me ocurrió cuando tenía que explicarles a mis estudiantes de primer semestre de bachillerato la famosa “regla de tres” (que en plan de broma varios profesores apodamos “regla de estrés”, porque suele ser un tema complicado para los jóvenes).

En este tema hay dos casos: uno de proporcionalidad directa y otro de proporcionalidad inversa. El primero me lo sabía bastante bien, pero cuando me enfrentaba a problemas del segundo tipo, generalmente los resolvía utilizando más la lógica que un método bien definido. Al preparar la clase, me vi en la necesidad de comprender a cabalidad la noción de proporcionalidad inversa, encontrar semejanzas y diferencias con la proporcionalidad directa y buscar los ejemplos apropiados para clarificar el concepto. Me sentí profundamente contento cuando comprendí bien cómo había que resolver cada caso; la docencia es –afortunadamente– un proceso de enriquecimiento permanente.

Hay otra fuente de donde uno puede abrevar estrategias, conocimiento, opiniones y hasta bromas en relación con la enseñanza de alguna materia: los colegas. Las diferentes concepciones, formaciones y metodologías de los compañeros de aula (incluso de otras asignaturas) nos ofrecen la posibilidad de modificar nuestras propias ideas sobre algún tema en específico. Pero no todo es miel sobre hojuelas. A veces una aportación, por su naturaleza, puede sonarnos como una auténtica herejía.

Justamente una situación como esa se dio hace más o menos un año y medio. Me encontraba trabajando con un amigo al que conocí en la maestría cuando una de nuestras largas, entramadas y –con frecuencia– divertidas conversaciones me dijo lo siguiente:

Yo creo que no tiene mucho sentido enseñar formalmente algunos temas de matemáticas en el nivel bachillerato. Sobre todo cuando ya hay computadoras y calculadoras tan potentes y económicas.

Casi lo ahorco. Me lo quedé viendo con un gesto de estupefacción que revelaba un “¿¿pero cómo puede un matemático estar diciendo algo como eso??” Discutimos un poco el punto; después las labores del posgrado nos obligaron a suspender la charla. El mal sabor de boca me duró varios días. Pero hoy, casi dos años después de semejante suceso, reconozco que su comentario era mucho más acertado de lo que parecía en un principio. Las siguientes líneas ofrecen mis reflexiones sobre un asunto que me parece vale la pena discutir.

La dimensión cultural de las matemáticas

Hace unos días platicaba con el doctor Luis Moreno Armella, un afable y destacado investigador en matemática educativa reconocido a nivel mundial. Durante la charla en la que hablamos de libros, docencia y cognición, me hizo un comentario que tejió, de forma magistral, algunos pensamientos que con alguna frecuencia habían deambulado en los laberintos de mis elucubraciones. Palabras más, palabras menos, me dijo:

Nosotros nos movemos en tres dimensiones. La primera es el universo de lo material; una roca o una silla se pueden percibir perfectamente a través de los sentidos. La otra dimensión es la de las ideas; la noción que usted tenga de ‘manzana’ es algo que está dentro de usted, en su mente. Por último, tenemos la dimensión cultural; por ejemplo, la Suprema Corte de Justicia es un ente cultural, pues no termina si los magistrados fallecen o si su sede cambia. Las matemáticas pertenecen, desde luego, a esa dimensión cultural.

La cita es larga, pero en mi favor diré que no puede ser de otra forma. Aceptar que la matemática vive y da vida a un mundo cultural tiene varias consecuencias interesantes. Para comenzar, se tendría que dejar a un lado la hipótesis –ampliamente difundida– de que las matemáticas están en la naturaleza.

Con el paso de los años y el trato con varios colegas me he ido convenciendo paulatinamente que nosotros hemos matematizado el mundo; le hemos ido ajustando, como un traje hecho a la medida, diversos modelos y teorías matemáticas al universo y sus fenómenos: la ley de la gravitación universal y la concha de los nautilos ya estaban ahí y eran como eran antes de que Newton enunciara su ecuación o que los griegos develaran la proporción aurea.

Por otro lado, el carácter cultural de la matemática también queda develado cuando reflexionamos sobre la naturaleza eminentemente humana de la misma. En otras palabras, la biología, la medicina, la química, la física, etc., describen fenómenos, estructuras y comportamientos que se hallan en la naturaleza, independientemente de que nuestros sentidos puedan percibirlos o no.

¿Y la matemática? ¿Alguien –en su sano juicio– ha visto caminado un polinomio cuadrático con raíces reales? A partir de que a cierto ser humano se le ocurrió hacer marcas en un hueso para establecer una relación de correspondencia entre éstas y, por ejemplo, las pieles que tenía, nuestra raza dio uno de los grandes saltos epistemológicos que involucran, cuando menos, dos aspectos fundamentales: el de la necesidad de un dispositivo de memoria externo y el de materializar la idea de numerosidad.

Desde luego que existen otras manifestaciones externas elaboradas por nuestros antepasados; las pinturas rupestres son un ejemplo claro. Y, de la misma manera, podemos remontarnos a las culturas más antiguas para buscar los orígenes de otra actividad intelectual fundamental: la escritura, entendida como “un sistema de signos aptos para codificar todos los mensajes, todo lo que pasa por la mente” (Bottéro et al, 1995).

Finalmente, podemos apelar a la esencia simbólica de la disciplina para señalar, nuevamente, su dimensión cultural, pues “el símbolo nunca pertenece a un corte sincrónico determinado la cultura –siempre lo atraviesa verticalmente, viene del pasado y se dirige al porvenir”(Lotman, 2002). Si a ello agregamos que no hay matemáticas pre-semióticas, entonces encontraremos que los significados matemáticos son resultados de consensos, es decir, de interacciones y acuerdos dentro de una determinada cultura.

Planes de estudio: carrera contra el tiempo (cuando menos)

La matemática está considerada –dentro del imaginario colectivo– como la ciencia de lo exacto, de lo lógico, de lo infalible y, muchas veces, de lo incuestionable. A muchos les sorprendería saber que si por algo se caracteriza la matemática es justo porque cada uno de sus resultados pasó por un proceso en el que los pasos que condujeron al mismo enfrentaron con éxito cualquier posible cuestionamiento.

Además, la matemática tuvo a principios del siglo XX una de sus crisis más severas, cuando se buscaba un sistema axiomático que diera fundamento a toda la disciplina. Esta convulsión quedó resuelta cuando el filósofo y matemático austriaco-estadounidense Kurt Göedel demostró –¡matemáticamente!– que tal fundamentación no era posible.

Pero las grandes discrepancias de la matemática también se han filtrado a la docencia de la misma. La discusión sobre este punto generalmente se centra en la pregunta ¿hasta dónde es posible mostrar –y pedir– a los alumnos el rigor matemático de los contenidos de la currícula escolar? Reformulo la pregunta: ¿realmente es necesario o útil que a los estudiantes se les demuestren con todo rigor todos y cada uno de los resultados matemáticos?

Sin duda más de una vez nos hemos preguntado esto y, casi en automático, la respuesta ha sido ¡pero claro que sí! No obstante, con la práctica diaria de la docencia nos hemos percatado de que ello presenta una serie de dificultades que generan, más que otra cosa, una tremenda frustración.

Uno de los factores que más contribuyen a la desazón que acabo de mencionar es la duración de los cursos. Más de un profesor coincidirá conmigo: los semestres, poco a poco y casi sin darnos cuenta, se han convertido en cuatrimestres… con la desventaja de seguirse llamando “semestres”.

Y digo esto porque a la hora de elaborar planes y programas de estudio se meten contenidos como si en efecto cada periodo escolar durase al menos cinco meses y medio. Sé que esto puede desatar una controversia, sobre todo entre quienes se dedican a elaborar la currícula escolar, pero me parece que es una realidad que no se puede dejar de lado.

Desde luego, un docente debidamente instruido en la disciplina puede cubrir esos contenidos, y hasta más, en el tiempo establecido. Pero habrá que valorar, al final del semestre, cuantos estudiantes aprendieron algo o –cuando menos– cuántos aprobaron el curso… si es que para entonces aún quedan alumnos. Hay quienes modelan sus cursos de esta manera, bajo un argumento pseudo darwiniano de la supervivencia del más fuerte. Las consecuencias de ello dan para escribir otro artículo y para generar buenas y nutridas discusiones; propongo que busquemos generar ambos espacios.

Y en la educación privada la cosa se pone peor: el número de alumnos debe de reducirse al mínimo; incluso a veces se pone un porcentaje, como si se tratara del margen de error de una producción en serie de adolecentes a los que, en la cajita del cerebro, se les debe meter todos los temas del plan de estudios. La mecánica es clara y hasta cierto punto entendible, mas nunca justificable: más calificaciones reprobatorias implican menos alumnos y esto, a su vez, menos ingresos. O más simple: menos clientes, menos ganancias.

Son muchos más los aspectos que intervienen en la labor educativa. Lo que aquí quiero resaltar es que, con suma frecuencia, es necesario sacrificar uno, dos o más temas, porque las limitantes académico-administrativas nos impiden abarcar la totalidad de los mismos. Si este es el escenario real… ¿será posible que la tecnología ha llegado a un punto de desarrollo tal que nos permitiría modificar la currícula mínima de ciertos niveles educativos?

Calculadoras portátiles: historia, actualidad y su impacto en la educación

Mucho se ha abordado el tema del uso de las (ahora llamadas) tecnologías de la información y la comunicación (TIC). La literatura sobre el tema incluye libros, artículos, conferencias, tesis de maestría y doctorado, tesina e incluso las propias tecnologías para ilustrarse a sí mismas: por ejemplo, se pueden hallar videos en Youtube que muestran cómo utilizar una determinada calculadora o un software de geometría dinámica.

En el ámbito nacional Luis Moreno, Manuel Santos, José Guzmán, Eugenio Filloy y Teresa Rojano han realizado importantes aportaciones al tema; a nivel mundial Luc Trouche, James Kaput, Michel Artigue, son sólo algunos de los nombres clave en la disciplina.

Los límites epistemológicos de estos instrumentos han variado con cada momento histórico. La regla y el compás se convirtieron en parte del código genético de las demostraciones y construcciones propias de la geometría euclidiana, pero su poder se paró de golpe cuando aparecieron en el escenario de las matemáticas los llamados “tres problemas clásicos”; a saber, la duplicación del cubo, la trisección del ángulo y la cuadratura del círculo (véase recuadro 3). Estos problemas, como se demostraría varios siglos más tarde, no pueden ser resueltos con regla y compás.

Otro momento importante, aunque en una dirección opuesta, es la demostración el teorema de los cuatro colores (véase el recuadro 4). La prueba de este resultado se llevó a cabo mediante la creación de un programa que una computadora ejecutó una y otra vez hasta que se estableció que era verdadero.

Desde luego, la comunidad matemática desaprobó la “demostración” por no ajustarse a la formalidad propia de la disciplina. En otras palabras, ¿quién podía asegurar que el programa estaba debidamente estructurado más allá de todo cuestionamiento? ¿Cómo se puede estar seguro que la computadora consideró todas y cada una de las combinaciones del mapa? Estas y otras interrogantes se vinculan a un punto fundamental: la demostración no es reproducible, requisito indispensable –aunque muchas veces dado por hecho– para que un resultado pueda considerarse como tal.

Aunque, en favor de los informáticos, habría que decir que, hasta donde se sabe, no se ha encontrado la demostración matemática del teorema, de tal suerte que –si se quiere ver así– los ordenadores se han anotado un punto y siguen esperando el desempate.

Hablemos ahora del caso que nos compete: las calculadoras electrónicas. Estos aparatos que en la actualidad son amplísimamente extendidos aparecieron en su versión portátil por primera vez en Japón (¡qué raro!) en 1970. Los ancestros más antiguos de estos dispositivos los hallamos en el ábaco, que más tarde evolucionaron en tablas matemáticas, luego en máquinas calculadoras mecánicas que después se convirtieron en artefactos de bulbos y complicados transistores, hasta que el avance de la electrónica dio paso a los modelos de bolsillo basados en microcircuitos operados con baterías AA o AAA (¿quién de ustedes, queridos colegas, no recuerda esos aparatitos?).

Más tarde aparecerían las calculadoras científicas y después las graficadoras, ambas operadas por baterías del tamaño del botón de una camisa. Pero en la actualidad la calculadora electrónica se ha vuelto una aplicación, un accesorio de otros instrumentos como teléfonos celulares o computadoras. En efecto, los avances tecnológicos han eliminado por completo la parte del hardware de las calculadoras personales y lo han supeditado a la estructura asignada de fábrica a un teléfono celular o a una computadora.

En lo que respecta al ámbito educativo, el uso de la calculadora con frecuencia es motivo de controversia, no sólo entre alumno y docente, sino también entre los profesores. Las posturas pueden llegar a ser diametralmente opuestas. Por un lado, se permite un uso poco vigilado de este instrumento, sin intentar inculcar a los alumnos el pensamiento matemático que conlleva cada una de las operaciones aritméticas, algebraicas y trigonométricas que estos aparatos son capaces de realizar en segundos.

La consecuencia es que dichas operaciones se vuelven absolutamente mecánicas, y ello implica el desvanecimiento simbólico del contenido matemático, ya sea este curricular o no. Esta situación es muy fácil de evidenciar: basta con pedirle a un alumno que resuelva un problema –y no una operación– y el joven (o más propiamente dicho, el usuario) muy probablemente empezará a jugar con las cantidades: sumará números, los restará, quizá una multiplicación por allá, y al final señalará el resultado que le arroje la calculadora, incluso aún si este carece de sentido o, en el peor de los casos, si es completamente absurdo.

Más preocupante es que los alumnos no interioricen el sentido de las operaciones aritméticas básicas. Alguna vez le pregunté a un alumno de bachillerato: “¿cuánto es 6 por 8?”. Me respondió: “¿puedo usar calculadora?” “No”, le dije. Pasaron varios minutos y el estudiante no podía darme la respuesta. Le pedí que recordara las tablas de multiplicar y me dijo que no las sabía, que siempre le habían dejado usar calculadora para realizar esas operaciones. “Entonces… ¿no sabe hacer multiplicaciones?”, le pregunté entre irritado y asombrado. Su respuesta fue: “No sin calculadora”. El joven, en efecto, mecanizó qué botones había que presionar, pero no tenía idea de los que significaba multiplicar números.

En sentido opuesto a la situación anterior, está el grupo de profesores que prohíben el uso de la calculadora, argumentando que esto atrofia el cerebro de los jóvenes. Se privilegia el pensamiento matemático (o científico) llevado a su postura más radical, en el que cada operación debe ser efectuada de manera mental o, si acaso, con ayuda de lápiz y papel. He de confesar que, hasta hace poco, me encontraba dentro de ese grupo.

Desde luego, eso tiene que ver mucho con la formación académica: el haber estudiado Matemáticas en la UNAM fijó profundamente en mí (como en muchísimos de mis colegas) dos ideas: a) que los cálculos (aritméticos) son lo de menos, que lo que importa es el fundamento lógico de los conceptos matemáticos (es decir, la parte formal); b) que, si es necesario entrar en los terrenos de la aritmética, hay que depender lo menos posible de la tecnología porque ¿cómo le haríamos si no la tenemos a la mano?

La pregunta que uno se hace es muy shakesperiana por cierto: ¿usar o no usar la tecnología? Esa es la cuestión. La respuesta es de suma importancia, sobre todo porque sostengo la tesis de que de ella surge la necesidad de modificar el contenido de los planes de estudio de nivel medio superior y superior. He aquí dos casos que sustentan semejante audacia.

¿Dónde quedó la raíz cuadrada?

Comencemos por aclarar debidamente esta operación aritmética. Hallar la raíz cuadrada de un número positivo cualquiera, digamos x, significa encontrar un número que, cuando se le multiplica por sí mismo da como resultado precisamente x. Mis colegas docentes estarán de acuerdo en que antes de continuar se deben establecer dos consideraciones: primero, que dada su definición la raíz cuadrada arroja dos valores, uno positivo y otro negativo; segundo, que obtener la raíz cuadrada es la operación inversa a elevar un número al cuadrado.

Ahora bien, es un hecho que hasta hace más o menos 40 años sacar la raíz cuadrada de un número implicaba utilizar un algoritmo basado en las operaciones básicas, es decir, sumas, restas, multiplicaciones y divisiones. Se trataba de un procedimiento largo, un tanto confuso al principio, pero nada que no pudiera dominarse con la debida práctica y, de hecho, los estudiantes de aquel entonces no tenían otra alternativa. Si alguien desea conocerlo, comprenderlo o recordarlo pueden consultar el siguiente enlace:
http://es.wikipedia.org/wiki/Ra%C3%ADz_cuadrada

Pero conforme avanzaron los años la enseñanza de dicho algoritmo se fue haciendo cada vez menos frecuente, hasta que desapareció por completo: en el plan de estudios oficial de educación primaria establecido por la Secretaria de Educación Pública esta enseñanza no aparece. ¿Cuál es la razón? Posiblemente que cualquier calculadora electrónica, por muy sencilla que ésta sea, es capaz de calcular raíces cuadradas.

A ello sumémosle que a mediados de los 80 poseer una calculadora portátil era relativamente sencillo. El resultado: cada vez había más alumnos en clase con la posibilidad de obtener la raíz cuadrada de un número con solo presionar unos poquísimos botones.

Es probable que estos instrumentos permearon de los niveles de educación superiores a los más básicos y no al revés. Los contenidos en esos niveles son más amplios y densos, y justamente una buena calculadora ayudaría –cuando menos– a reducir el tiempo que llevaba resolver el ejercicio o una pregunta de examen. En los niveles educativos inferiores, seguramente la cosa no fue ni ha sido la misma. En general los cálculos son más sencillos y en menor cantidad. Pero también en esos estratos, poco a poco, generación tras generación, la calculadora (por sencilla que fuera esta) se fue convirtiendo en un artículo adicional que había que incluir en la lista de útiles escolares de principio de año.

Y luego vino la consecuencia. Poco a poco, la enseñanza del algoritmo para obtener la raíz cuadrada de un número dado fue saliendo del esquema de la práctica docente y, después, de los planes de estudio. Así se consumó –quizá– la primera modificación de una curricula escolar provocada por la tecnología, cuyas armas más poderosas para lograr su victoria fueron su accesibilidad, su rapidez y su simpleza operativa. Era muy difícil resistirse a tales encantos; pero semejante seducción ha tenido sus consecuencias.

He de aclarar que algoritmo manual para obtener la raíz cuadrada me parece bello en sí mismo. Es un elegante tejido de operaciones aritméticas que, mientras más se repite, más preciso es el resultado. Pero ¿vale la pena detenerse a enseñarlo, cuando, por un lado, hay muchos contenidos que cubrir y muy poco tiempo para hacerlo y, por otro, cuando quizá lo que importa es qué hacer con ese número o qué significa ese número en lugar de cómo obtengo ese número?

Es muy probable que antes de eliminar este conocimiento de la currícula de la educación básica hubo una discusión muy extensa buscando responder la misma pregunta. Y ya conocemos la respuesta.

El caso de las funciones trigonométricas de la suma y resta de ángulos

Hacia la recta final del curso de trigonometría de nivel bachillerato se contempla la enseñanza del seno y el coseno de la suma y diferencia de dos ángulos. La deducción del resultado es suficientemente engorrosa como para considerar seriamente su exhibición en un aula llena de adolescentes que lo que piden, secreta o manifiestamente, es la fórmula. Las respectivas identidades se pueden apreciar en el recuadro 5.

Antes de continuar, es necesario hacer algunas remembranzas. Hace pocas décadas una herramienta imprescindible para cualquier estudiante de nivel medio superior o superior eran las famosas tablas trigonométricas. Se trata de un arreglo numérico en el que en el que en el renglón superior se encontraban las seis funciones trigonométricas (seno, coseno, tangente, cotangente, secante y cosecante) y en la primera columna aparecían los ángulos de uno en uno hasta el 90. Si alguien necesitaba saber cuál era el coseno de un ángulo de 48°, bastaba con ubicar el punto de intersección del renglón y la columna adecuados.

De manera tal que cualquier función trigonométrica de la suma o resta de ángulos se podía hacer con las fórmulas adecuadas y aquellas tablas, ahora convertidas en piezas de museo. Pero, igual que en el caso de la raíz cuadrada, la cosa se reducía a operaciones aritméticas básicas.

Pero llegó la tecnología…y con ella las calculadoras científicas. Este tipo de artefactos son capaces de calcular funciones trigonométricas, logarítmicas, exponenciales y trigonométricas inversas con sólo presionar algunos botones. Y en los últimos años se convirtieron en aplicaciones agregadas de los sistemas operativos de las computadoras (específicamente Windows) y también de los teléfonos celulares: en algunos modelos basta girar el teléfono para pasar de una versión básica a una científica.

Ahora bien, si uno tiene un aparato de este tipo… ¿realmente se torna necesario saberse de memoria las cuatro identidades mostradas en el recuadro 5? Es decir, ¿para qué aprendérselas si las calculadoras modernas son rápidas y eficientes? La respuesta natural sería: es necesario, porque cómo le van a hacer si no tienen a mano una calculadora. ¿Esta respuesta es realista? En mi opinión no: una calculadora científica de buena calidad se puede conseguir por más o menos $200.00. Y si un chico tiene un IPhone ni siquiera tiene que hacer el gasto extra.

Una calculadora como la que he descrito arriba puede calcular directamente la suma o diferencia de los ángulos, ya sea que estén en grado o radianes, y hecho esto obtener cualquier función trigonométrica de dicho valor. Así, quizá habría que ir pensando en omitir este contenido del plan de estudios y ocupar ese tiempo para trabajar en otro tema.

Para finalizar, me gustaría señalar que, aunque parezca incongruente, el caso de los ángulos notables (30, 45 y 60 grados) sí merece vale la pena desarrollarlo en el aula. La razón que es que para dichos ángulos no es el valor de la función trigonométrica en sí lo que importa, sino la forma en que se pueden obtener, pues nos remiten a los conocimientos fundamentales de la propia trigonometría. De hecho, si un alumno aprende cómo sacarlo no necesita memorizar su valor: siempre puede obtenerlo... ¡ahora sí, sin hacer cuentas ni depender de la calculadora!

Conclusiones

Usted, querido lector, quizá sea de la opinión de que dos ejemplos no son suficientes para creer que el peso específico de la tecnología sea suficiente como para impactar en la currícula mínima de la asignatura de matemáticas en determinado nivel educativo. Tengo, por lo menos, un par de ejemplos más, pero creo que merecen ser tratados con todo detalle en un artículo posterior.

En todo caso, lo que he querido es poner sobre la mesa la discusión al respecto. Me parece que el tema da para mucha discusión entre académicos e investigadores, y quizá deberíamos gestionar un espacio ex profeso. Sería interesante.

Por lo pronto, me parece pertinente enunciar las conclusiones que podrían desprenderse de las líneas antes expuestas, aunque en honor a la verdad debo mencionar que están ligeramente aderezadas con mi experiencia docente cotidiana. Desde luego, no deben tomarse como verdades absolutas, sino como puntos de partida para reflexiones personales, a nivel de academia y posiblemente de investigación. Helas aquí:

  • Las tecnologías de la información y la comunicación son una realidad, y resistirse a incorporarlas al ámbito docente es casi un anacronismo.
  • Ya hay evidencia de que la tecnología es capaz de modificar programas de estudio; en este artículo hemos citado el caso de la raíz cuadrada.
  • El meollo del asunto se halla en identificar en qué momento podemos hacer uso de una calculadora sin que eso implique que el contenido curricular se vuelva confuso o, peor aún, quede completamente ignorado.
  • El uso de calculadoras debe hacerse de forma coherente. No se le puede permitir a un alumno que lo use en clase o para una tarea, pero que en el examen todo lo haga con papel y lápiz. A la inversa tampoco es posible, porque genera en el alumno un sentimiento de haber invertido tiempo innecesario en aprender algo que se podía efectuar más rápido y fácil.
  • Es un hecho que la tecnología por sí sola no resuelve ningún problema educativo. Y es aquí en donde el papel del docente no sólo es necesario, sino que se fortalece enormemente: si el profesor enseña a sus estudiantes a usar la tecnología para simplificar cálculos, pero paralelamente les muestra cómo usar esos cálculos para resolver problemas o adquirir nuevos conocimientos, entonces se está logrando una relación en la que ambos resultan beneficiados.
  • Si como docentes aprovechamos la tecnología en nuestro favor, entonces quizá dispondremos de más tiempo que podemos utilizar o bien en profundizar o incorporar más contenidos incluidos en la currícula original

Las tecnologías poco a poco han ido ganando terreno en el ámbito de la docencia. Mientras más rápido las asimilemos, más rápido podremos explotarlas en nuestro favor. No se trata de tecnificar la enseñanza; se trata de academizar la tecnología.

1M. en C. con Especialidad en Matemática Educativa (CINVESTAV) y Profesor de Asignatura B en la Facultad de Ciencias de la UNAM. También es adjunto a la Secretaría de Prensa y Propaganda del STUNAM, editor fundador de la revista de divulgación científica Ciencia compartida y articulista del periódico Unión.fdex2000@yahoo.com

Bibliografía
Bottéro J et al (1995). Cultura, pensamiento, escritura. España: Gedisa.
Lotman, I. (2002) El símbolo en el sistema de la cultura (R. Darío, Trad.) En Forma y Función, Invierno, 15, 89-101. Recuperado el 25 de septiembre del sitio Web de la Red de Revistas Científicas de América Latina y el Caribe: http://redalyc.uaemex.mx/pdf/219/21901505.pdf

Recuadro 1
El wronskiano es un concepto que pertenece al ámbito del álgebra lineal. Se trata de un determinante que se elabora a partir de un conjunto de funciones n veces derivables, el cual nos da información sobre la independencia lineal de dichas funciones. En lenguaje matemático formal: sean  funciones derivables; entonces el wronskiano se define como

Recuadro 2
Trazar una recta perpendicular a otra recta dada que pase por un punto fuera de esta es un problema que se resolvió desde la época de los griegos; con la geometría analítica, el problema se resuelve tomando en cuenta las pendientes de ambas rectas. La gráfica siguiente muestra cómo quedan los trazos:

Recuadro 3
Los llamados “tres problemas clásicos” de la matemática griega son tres construcciones que se suponía se podían realizar sólo utilizando regla y compás. El primero consistía en que dado un cubo cualquiera, con los dos instrumentos se podía construir otro cubo que tuviera exactamente el doble del volumen del primero. El segundo demandaba dividir un ángulo cualquiera en tres partes iguales utilizando solamente regla y compás. El tercero versaba sobre la construcción –nuevamente utilizando sólo regla y compás– de un cuadrado que tuviese la misma área de un círculo dado. Ninguno de los tres problemas se puede resolver por métodos geométricos.

Recuadro 4
El teorema de los cuatro colores afirma que dado cualquier mapa geográfico con regiones continuas, éste puede ser coloreado con cuatro colores diferentes, de forma que no queden regiones adyacentes (es decir, regiones que compartan no sólo un punto, sino todo un segmento de borde en común) con el mismo color. La figura es un ejemplo de la veracidad del teorema:

Descripción: mt36506.jpg

Recuadro 5
En algunas áreas de la matemática como el cálculo diferencial e integral o la variable compleja, las identidades trigonométricas juegan un papel muy importante. Las que corresponden al seno y coseno de la suma y diferencia de dos ángulos cualesquiera –digamos - se muestran a continuación: